Different problems with tabularx

• newer add \\ after \hline
• in second row you not used \hline after \hline, consequently the content in the first cell in this row is correctly placed
• before and after itemize are always added vertical space \topsep and partopsep. the package enumitem offer simple possibilities to remove them (see mwe below)

see, if the following solution gives what you after:

\documentclass[a4paper,10pt, hidelinks]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
\usepackage{makecell,           % <---
            tabularx}           
\setcellgapes{3pt}              % <---
\usepackage{enumitem}           % <---

\usepackage{hyperref}
\def\thesection{\Alph{section}}

\title{Befragung}
\date{}
\setcounter{tocdepth}{1}

\begin{document}
    \begin{Form}[action={mailto:[email protected]?subject=Daten&body=Hi, meine Daten sind im Anhang.}]
\textbf{Inwieweit stimmen folgende Aussagen zu?} \\

{\small
 \setlist[itemize]{nosep,     % <-- list setup, adopted for use in table
                   leftmargin = *,
                   before     = \vspace{-0.6\baselineskip},
                   after      = \vspace{-\baselineskip}
                        }
 \makegapedcells               % <---
    \begin{tabularx}{0.95\textwidth}{|X|X|X|X|}
    \hline
    & \textbf{Im Jahr 2016} & \textbf{Im Jahr 2017} & \textbf{Im Jahr 2018} \\
    \hline
\textbf{Hier soll einfach nur ein Statement stehen und nichts weiter.} & %%
\begin{itemize}
    \item Stimme voll zu
    \item Stimme eher zu
    \item Teils, teils
    \item Stimme eher nicht zu
    \item Stimme nicht zu
    \item Keine Angabe
\end{itemize}
    &  \begin{itemize}
            \item Stimme voll zu
            \item Stimme eher zu
            \item Teils, teils
            \item Stimme eher nicht zu
            \item Stimme nicht zu
            \item Keine Angabe
        \end{itemize}
        &   \begin{itemize}
                \item Stimme voll zu
                \item Stimme eher zu
                \item Teils, teils
                \item Stimme eher nicht zu
                \item Stimme nicht zu
                \item Keine Angabe
            \end{itemize} \\
    \hline
\textbf{Auch hier steht absolut nichts, was irgendwie interessant ist.}
    &   \begin{itemize}
            \item Stimme voll zu
            \item Stimme eher zu
            \item Teils, teils
            \item Stimme eher nicht zu
            \item Stimme nicht zu
            \item Keine Angabe
        \end{itemize}
        &   \begin{itemize}
                \item Stimme voll zu
                \item Stimme eher zu
                \item Teils, teils
                \item Stimme eher nicht zu
                \item Stimme nicht zu
                \item Keine Angabe
            \end{itemize}
            &   \begin{itemize}
                    \item Stimme voll zu
                    \item Stimme eher zu
                    \item Teils, teils
                    \item Stimme eher nicht zu
                    \item Stimme nicht zu
                    \item Keine Angabe
                \end{itemize}   \\
  \hline
  \end{tabularx}    \\
}

\Reset{Alle Eingaben löschen} \\

\Submit[export=PDF]{Abschicken}
\end{Form}
\end{document}

note: changes in above code in comparison to your document example are indicated with % <---. for lists is used the enumitem package, for more vertical space around cells contents is used \makegapedcells macro from the makecell package.

Your problems come from adding \\ after \hline. Here is a correct code and some improvements with enumitem. Note that \small is not a command with an argument, but a switch.

\documentclass[a4paper,10pt, hidelinks]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{hyperref}
\def\thesection{\Alph{section}}

\title{Befragung}
\date{}
\setcounter{tocdepth}{1}
\makeatletter
\newcommand*{\compress}{\@minipagetrue}
\makeatother

\begin{document}

\begin{Form}[action={mailto:[email protected]?subject=Daten&body=Hi, meine Daten sind im Anhang.}]

\textbf{Inwieweit stimmen folgende Aussagen zu?} \\

{\setlist[itemize]{wide=0pt, leftmargin=*, after = \vspace*{-\dimexpr\topsep + \partopsep}}
\setlength{\extrarowheight}{3pt}
\small
  \begin{tabularx}{0.95\textwidth}{|*{4}{>{\compress\arraybackslash}X|}}
  \hline
  & \textbf{Im Jahr 2016} & \textbf{Im Jahr 2017} & \textbf{Im Jahr 2018} \\
  \hline
    \textbf{Hier soll einfach nur ein Statement stehen und nichts weiter.} & %%
    \begin{itemize}
  \item Stimme voll zu
  \item Stimme eher zu
  \item Teils, teils
  \item Stimme eher nicht zu
  \item Stimme nicht zu
  \item Keine Angabe
  \end{itemize} & %%
    \begin{itemize}
  \item Stimme voll zu
  \item Stimme eher zu
  \item Teils, teils
  \item Stimme eher nicht zu
  \item Stimme nicht zu
  \item Keine Angabe
  \end{itemize} & %%
    \begin{itemize}
  \item Stimme voll zu
  \item Stimme eher zu
  \item Teils, teils
  \item Stimme eher nicht zu
  \item Stimme nicht zu
  \item Keine Angabe
  \end{itemize} \\
  \hline
    \textbf{Auch hier steht absolut nichts, was irgendwie interessant ist.} & %%
    \begin{itemize}
  \item Stimme voll zu
  \item Stimme eher zu
  \item Teils, teils
  \item Stimme eher nicht zu
  \item Stimme nicht zu
  \item Keine Angabe
  \end{itemize} & %%
    \begin{itemize}
  \item Stimme voll zu
  \item Stimme eher zu
  \item Teils, teils
  \item Stimme eher nicht zu
  \item Stimme nicht zu
  \item Keine Angabe
  \end{itemize} & %%
    \begin{itemize}
  \item Stimme voll zu
  \item Stimme eher zu
  \item Teils, teils
  \item Stimme eher nicht zu
  \item Stimme nicht zu
  \item Keine Angabe
  \end{itemize} \\
  \hline

  \end{tabularx} \\

}

\Reset{Alle Eingaben löschen} \\

\Submit[export=PDF]{Abschicken}

\end{Form}

\end{document} 

Use

\usepackage{enumitem}
\setlist{nosep}

and

{\small 
\begin{tabularx}{0.95\textwidth}{|X|X|X|X|}\hline
    & \textbf{Im Jahr 2016} & \textbf{Im Jahr 2017} & \textbf{Im Jahr 2018}\\\hline
\textbf{Hier soll einfach nur ein Statement stehen und nichts weiter.} & %%
.... 

\small is a switch and has no argument: {\small ...} and not \small{}