Who introduced the terms "equivalence relation" and "equivalence class"?
Von Neumann uses "equivalence class" in Zur Prüferschen Theorie der idealen Zahlen, Acta Sci. Math. (Szeged) 2 (1926) 193-227, p. 197 (viewable after free registration):
Wir nennen $R$ und $S$ äquivalent, in Zeichen: $R\sim S$, wenn (...)
Satz 2. Es ist stets $R\sim R$. Aus $R\sim S$ folgt $S\sim R$. Aus $R\sim S$ und $S\sim T$ folgt $R\sim T$.
(...)
Infolge des Satzes 2. zerfällt die Menge der Folgen realer Zahlen in paarweise elementefremde Klassen untereinander äquivalenter Folgen.
(...)
Definition 4. Eine Aequivalenzklasse, die lauter Fundamentalfolgen enthält, nennen wir eine ideale Zahl.
This seems like an early example, in that he sees fit to add here the footnote: "We define the ideal number as the corresponding set of fundamental sequences, itself; naturally one could also regard it as an ideal element attached to this set."
I note also that Hasse's book Höhere Algebra (where Henry Cohn found the earliest occurrence of "equivalence relation" so far) appears to have a 1926 edition too.
Update 1: One might also quote a paper by Eugen Netto, Über die arithmetisch-algebraischen Tendenzen Leopold Kronecker's, in: Mathematical Papers read at the International Mathematical Congress (Chicago, 1893), Macmillan 1896, pp. 243-252, who writes:
"Jede wissenschaftliche Forschung geht darauf aus, Aequivalenzen festzustellen und deren Invarianten zu ermitteln (...)."
Jede Abstraction, z. B. die von gewissen Verschiedenheiten, welche eine Anzahl von Objecten darbietet, statuirt eine Aequivalenz; alle Objecte, die einander bis auf jene Verschiedenheiten gleichen, gehören zu einer Aequivalenzclasse, sind unter einander aequivalent, und der aus der Abstraction hervorgehende Begriff bildet die "Invariante der Aequivalenz."
Update 2: Finally(?) one should probably also quote Vol. 2 of Weber's Lehrbuch der Algebra (1896). Literally he uses neither "equivalence relation" nor "equivalence class", but see how close he gets in §152 "Aequivalenz":
Zwei ganze oder gebrochene Functionale $\varphi$, $\psi$ im Körper $\Omega$ heissen äquivalent, wenn (...)
Zwei Functionale, die mit einem dritten äquivalent sind, sind auch unter einander äquivalent.
Theilt man hiernach alle Functionale des Körpers $\Omega$ in Classen ein, indem man zwei Functionale in dieselbe oder in verschiedene Classen wirft, je nachdem sie äquivalent sind oder nicht, so ergiebt sich (...)
Same for Dedekind's Ueber die Theorie der algebraischen Zahlen (1879), §175:
Wir wollen nun zwei Ideale $\mathfrak a$, $\mathfrak a'$ äquivalent nennen, wenn (...)
Zugleich ergiebt sich hieraus, dass (...) je zwei Ideale $\mathfrak a'$, $\mathfrak a''$, die mit einem dritten Ideal $\mathfrak a$ äquivalent sind, stets auch miteinander äquivalent sein müssen. Auf diesem Satze beruht die Möglichkeit, alle Ideale in Idealclassen einzutheilen; (...) der Inbegriff $A$ aller mit $\mathfrak a$ äquivalenten Ideale $\mathfrak a$, $\mathfrak a'$, $\mathfrak a''$ (...) nennen wir eine Idealclasse oder kürzer eine Classe
(Of course, calling class a family of objects related by some equivalence is a custom that can be traced to much older work — cf. Dirichlet [1863, p. 172] or Eisenstein [1847, p. 118] or Gauss [1801, §223].)